Một vector được định nghĩa qua trường F là một tập V cùng với 2 toán tử thỏa mãn 8 tiên đề dưới đây. Theo đó, V × V kí hiệu cho phép nhân Cartesian của V với chính nó, và → kí hiệu cho một ánh xạ từ một nhóm đến một nhóm khác

• Toán tử đầu tiên, được gọi là phép cộng vector hoặc đơn giản là phép cộng +: V × V → V, lấy 2 vector bất kì v và w và đánh dấu một vector thứ 3 được viết là v + w, được gọi là tổng của các vector.
• Toán tử thứ 2 được gọi là phép nhân vô hướng: F × V → V, lấy một vô hướng a bất kì và một vector v, cho ta một vector khác av

1. Phép cộng vectơ có tính kết hợp:

   Với mọi u, v, w ∈ {\displaystyle \in } V, ta có u + (v + w) = (u + v) + w.

2. Phép cộng vectơ có tính giao hoán:

   Với mọi v, w ∈ {\displaystyle \in } V, ta có v + w = w + v.

3. Phép cộng vectơ có phần tử trung hòa:

   Có một phần tử 0 ∈ {\displaystyle \in } V, gọi là vectơ không, sao cho v + 0 = v với mọi v ∈ {\displaystyle \in } V.

4. Phép cộng vectơ có phần tử đối:

   Với mọi v ∈ V, có một phần tử w ∈ {\displaystyle \in } V, gọi là phần ngược của v, sao cho v + w = 0.

5. Phép nhân vô hướng phân phối với phép cộng vectơ:

   Với mọi a ∈ {\displaystyle \in } F và v, w ∈ {\displaystyle \in } V, ta có a (v + w) = a v + a w.

6. Phép nhân vô hướng phân phối với phép cộng vô hướng:

   Với mọi a, b ∈ {\displaystyle \in } F và v ∈ {\displaystyle \in } V, ta có (a + b) v = a v + b v.

7. Phép nhân vô hướng tương thích với phép nhân trong trường các số vô hướng:

   Với mọi a, b ∈ {\displaystyle \in } F và v ∈ {\displaystyle \in } V, ta có a (b v) = (ab) v.

8. Phần tử đơn vị của trường F có tính chất của phần tử đơn vị với phép nhân vô hướng: Với mọi v ∈ {\displaystyle \in } V, ta có 1 v = v, 1 ký hiệu đơn vị của phép nhân trong F.
9. Với mọi x; y ∈ {\displaystyle \in } V, ta có x + y ∈ {\displaystyle \in } V
10. Với mọi x ∈ {\displaystyle \in } V và a ∈ {\displaystyle \in } V, ta có a.x ∈ {\displaystyle \in } V

Một cách chính xác, những tiên đề trên là cho một module, do vậy không gian vectơ có thể được mô tả ngắn gọn là một "module trên một trường". Một không gian vectơ chỉ là một trường hợp đặc biệt của một module.

Để ý rằng trong định đề thứ 7, nói rằng a (b v) = (ab) v, là không phải khẳng định về tính kết hợp của một toán tử, bởi vì có hai toán tử đang nói đến, nhân vô hướng: b v; và nhân trên trường số: ab.

Có người cho thêm hai tính chất đóng trong định nghĩa của không gian vectơ:

1. V đóng dưới phép cộng vectơ:

   Nếu u, v ∈ {\displaystyle \in } V, thì u + v ∈ {\displaystyle \in } V.

2. V đóng dưới phép nhân vô hướng:

   Nếu a ∈ {\displaystyle \in } F, v ∈ {\displaystyle \in } V, thì a v ∈ {\displaystyle \in } V.

Tuy nhiên, nếu hiểu phép toán là ánh xạ trên miền V thì không cần thêm các tiên đề tính chất đóng trong định nghĩa không gian vectơ.